Problemi matematici per agricoltori

Problemi matematici per agricoltori
(Ma questo non è che un semplice problema di PL !!!)

Una mela verde in mezzo alle mele rosse by FogStock

Un contadino dispone di 2 ettari di terreno. Il contadino non può dedicare più di 5 mesi l'anno alla cura dei suoi campi. Un ettaro coltivato a mele Annurche gli richiede 3 mesi di lavoro mentre un ettaro coltivato a mele Golden richiederebbe solamente 2 mesi di lavoro all'anno. Tuttavia un ettaro coltivato ad Annurche frutterebbe 5 soldi ogni anno contro i 4 soldi ricavabili dallo stesso ettaro se coltivato a Golden. Dovendo decidere come impiantare il terreno, quale politica consentirebbe al contadino di massimizzare il suo guadagno? Formulare il problema secondo il modello della PL e risolverlo col metodo grafico.

(n.b. l'ettaro (simbolo ha) è un'unità di misura dell'area equivalente alla superficie di un quadrato con il lato di 100 metri.)


Fisso le variabili del problema come

x ettari annurche

y ettari golden


La disponibilità di terreno mi determina il vincolo:

a) x+y <= 2


La disponibilità di mesi lavorativi, combinata con il lavoro necessario alla coltivazione dei due tipi di prodotto, mi determina il vincolo:

b) 3x+2y <=5


Non essendo sensato coltivare terreni la cui area sia rappresentata da un numero negativo, introduco i vincoli di non negatività:

c) x >= 0

d) y >= 0


La funzione obiettivo discende dai ricavi per ettaro:

max Z = 5x+4y


Considero che i risultati possono essere numeri reali positivi qualsiasi, anche se nulla dice la traccia su quanto terreno sia necessario per ciascun albero.


Per disegnare la retta a) congiungo i due punti A(2, 0) e B(0, 2)

Per disegnare la retta b) congiungo i due punti C(5/3, 0) e D(0, 5/2)


Metto a sistema le eq a) e b)


Sottraggo alla b) la a) moltiplicata per 3, ottenendo:

2y-3y=-1 → y=1

Sostituisco il valore di y nella a), ottenendo:

x+1=2 → x=1


Quindi il punto di intersezione tra a) e b) è il punto E(1, 1)


Dal disegno mi accorgo che il poligono che delimita l'insieme delle soluzioni possibili è il quadrilatero OBEC.


Calcolo il valore assunto dalla funzione obiettivo nei vertici del quadrilatero:

ZO = 0

ZB = 5 * 0 + 4 * 2 = 8

ZE = 5 * 1 + 4 * 1 = 9

ZC = 5 * 5/3 + 4 * 0 = 25/3 = 8,32


La soluzione ottimale, che consente di ricavare 9 soldi all'anno, si ottiene coltivando 1 ettaro ad Annurche ed 1 ettaro a Golden.




Soluzione grafica del problema di PL del compito



















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inthewolf, Creato con GeoGebra

Commenti

  1. Questo commento è stato eliminato da un amministratore del blog.

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  2. Ho preso 6+

    Ma che significa PL ???? XD

    Grazie un bacio

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  3. @CaprettaD:
    PL sta per "Programmazione lineare"

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