Problemi matematici per agricoltori

Problemi matematici per agricoltori
(Ma questo non è che un semplice problema di PL !!!)

Un contadino dispone di 2 ettari di terreno. Il contadino non può dedicare più di 5 mesi l'anno alla cura dei suoi campi. Un ettaro coltivato a mele Annurche gli richiede 3 mesi di lavoro mentre un ettaro coltivato a mele Golden richiederebbe solamente 2 mesi di lavoro all'anno. Tuttavia un ettaro coltivato ad Annurche frutterebbe 5 soldi ogni anno contro i 4 soldi ricavabili dallo stesso ettaro se coltivato a Golden. Dovendo decidere come impiantare il terreno, quale politica consentirebbe al contadino di massimizzare il suo guadagno? Formulare il problema secondo il modello della PL e risolverlo col metodo grafico.

(n.b. l'ettaro (simbolo ha) è un'unità di misura dell'area equivalente alla superficie di un quadrato con il lato di 100 metri.)

Fisso le variabili del problema come

x ettari annurche

y ettari golden

La disponibilità di terreno mi determina il vincolo:

a) x+y <= 2

La disponibilità di mesi lavorativi, combinata con il lavoro necessario alla coltivazione dei due tipi di prodotto, mi determina il vincolo:

b) 3x+2y <=5

Non essendo sensato coltivare terreni la cui area sia rappresentata da un numero negativo, introduco i vincoli di non negatività:

c) x >= 0

d) y >= 0

La funzione obiettivo discende dai ricavi per ettaro:

max Z = 5x+4y

Considero che i risultati possono essere numeri reali positivi qualsiasi, anche se nulla dice la traccia su quanto terreno sia necessario per ciascun albero.

Per disegnare la retta a) congiungo i due punti A(2, 0) e B(0, 2)

Per disegnare la retta b) congiungo i due punti C(5/3, 0) e D(0, 5/2)

Metto a sistema le eq a) e b)

Sottraggo alla b) la a) moltiplicata per 3, ottenendo:

2y-3y=-1 → y=1

Sostituisco il valore di y nella a), ottenendo:

x+1=2 → x=1

Quindi il punto di intersezione tra a) e b) è il punto E(1, 1)

Dal disegno mi accorgo che il poligono che delimita l'insieme delle soluzioni possibili è il quadrilatero OBEC.

Calcolo il valore assunto dalla funzione obiettivo nei vertici del quadrilatero:

ZO = 0

ZB = 5 * 0 + 4 * 2 = 8

ZE = 5 * 1 + 4 * 1 = 9

ZC = 5 * 5/3 + 4 * 0 = 25/3 = 8,32

La soluzione ottimale, che consente di ricavare 9 soldi all'anno, si ottiene coltivando 1 ettaro ad Annurche ed 1 ettaro a Golden.

Soluzione grafica del problema di PL del compito Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) inthewolf, Creato con GeoGebra