Devo mettermi a dieta

Un problema di P.L. dato oggi al compito in classe della 5IB.

Traccia

Un dietologo deve prescrivere una dieta a base di due alimenti A1 e A2 in modo che fornisca un apporto calorico compreso tra 2500 e 3200 kcal e contenga almeno 3500 unità di vitamina B12. Sapendo che un kg di A1 ha 1400 kcal e 1000 unità di vitamina e che un kg di A2 ha 800 kcal e 2000 unità di vitamina, si vuol conoscere come deve essere costituita la dieta per essere la più economica possibile, se un kg di A1 costa 20€ e un kg di A2 15€.

Risoluzione

Pongo x la quantità in kg dell'alimento A1 ed y la quantità in kg dell'alimento A2.

La funzione obiettivo, da minimizzare è:
Z = 20 x + 15 y

Formalizzo i vincoli:

a) 1400 x + 800 y > 2500; 14 x + 8 y > 25
b) 1400 x + 800 y < 3200; 7 x + 4 y < 16
c) 1000 x + 2000 y > 3500 ; 2 x + 4 y > 7

Ad essi aggiungo i vincoli di non negatività:
d) x >= 0
e) y >= 0

Disegno la retta a dopo averne determinate le intersezioni con gli assi che sono (0; 3.125) e (1.786; 0)
Disegno la retta b dopo averne determinate le intersezioni con gli assi che sono (0; 4) e (2.286; 0)
Disegno la retta c dopo averne determinate le intersezioni con gli assi che sono (0; 1.75) e (3.5; 0)

Osservo dal disegno che le rette a e b sono parallele.

Interpreto graficamente le disequazioni che rappresentano i vincoli del problema, osservando che le soluzioni ammissibili devono trovarsi al di sopra di a AND al di sopra di c AND al di sotto di b. Quindi la zona ammissibile è costituita dal trapezio che ha per vertici:
  • l'intersezione di a con l'asse y - punto A (0; 3.125)
  • l'intersezione di b con l'asse y - punto B (0;4)
  • l'intersezione tra b e c - punto C (?; ?)
  • l'intersezione tra a e c - punto D (?; ?)

Trovo il punto C risolvendo il sistema di b e c:


Trovo il punto D risolvendo il sistema di a e c:
Quindi C (1.8; 0.85) e D (1.1;1.2)

Calcolo:
ZA = 46.875
ZB = 60
ZC = 48.75
ZD = 40

concludendo che la dieta più economica, il cui costo è 40€, è costituita da 1.1 kg dell'alimento A1 e 1.2 kg dell'alimento A2.

Problema della dieta





Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com

Pierangelo Indolfi, Creato con GeoGebra

Commenti

  1. Sono identici i miei risultati sul compito a questi sul sito. :)

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